2011年5月14日 星期六

為什麼十賭九輸?——賭徒末路(賭徒破產問題,gambler's ruin)

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  為什麼十賭九輸?因為剩下的那一個是莊家。

  一定得擁有收益率的職業賭徒經常提到「現金管理」這個詭譎又重要的議題,指的是如何從有利的下注方式中獲取最大利益。即使你是世上最強的撲克玩家、雙陸棋玩家或老千,如果不懂現金管理,結果也是破產。悲慘的現實是,就長期而言,幾乎每個賭徒都會破產。

  將賭徒的財富畫成圖表,一開始的金額是X元,每次贏或輸錢,財富就會變化。 賭徒末路
  如果賭博是「公平」的,也就是賭徒沒有優勢,也沒人抽頭,那麼財富的長期趨勢會是水平線。以數學術語來說,「期望值expectation」是零,以長期來看,賭徒賺跟賠的機率是一樣的。

  期望值是統計學虛構出來的數字……事實上賭徒的財富變動非常劇烈,圖中的曲線顯示一般賭徒荷包的宿命。這是基於每次下注金額相同的簡單假設。曲線的變化沒有規律或理由,數學家稱之為「隨機漫步random walk」。

  你唯一可能注意到的趨勢是上下振動的幅度越來越大,這是數學可證明的事實,如果圖表往右無限延伸,振動會更加明顯。賭徒的財富傾向越來越遠離初始資金的數字,會出現順遂的好運與困頓的霉運的時候。如果人可以永遠賭下去,財富曲線會遠離「初始資金線」無限倍。

  但是請注意:在初期,財富曲線會相對的觸及零(亦即破產線)。如果發生在賭場,賭徒會被趕出場,他只好回家當個窩囊廢。也就是說,圖表的右半部都無關緊要。假設初始資金是賭徒所擁有或能拿來賭的一切,他就會永遠被三振出局。

  在賭場規則中,莊家通常擁有優勢,也就是說玩家會比較快破產。即使玩家罕見地擁有微小優勢,還是有可能破產。

  賭徒破產時,總會有別人受益(賭場、組頭、賽馬場)。所謂的「別人」通常比較有錢,賭徒在碰到連贏的好運「剷莊」之前就會輸光。賭博的淨效益就是把賭徒口袋裡的錢掏進莊家的口袋。你一定經常聽說朋友去賭場小贏一筆,然後又全數輸光的例子吧?

  數學家為以上現象取了一個挺古典的名稱:賭徒末路(賭徒破產問題,gambler's ruin)。賭徒的黑話有很多種,例如「發生意外」或「擱淺」。所以多年以來,賭徒研發出各種現金管理技巧,把破產的機率極小化。

  最簡單又最安全的方法就是不要(用部分或所有財富)賭博。如果你帶1000美元去拉斯維加斯,決心至少帶500美元回家,那就把500美元鎖在旅館保險箱,不要拿去賭。

  這可不是大多數賭徒想聽的話,基本上也沒有解決賭徒的破產問題。你仍然需要現金管理技巧來處理用於賭博的金錢,輸光可是很容易的。

  最普遍的技巧是「輸後加倍法」(martingale、馬丁格爾策略、平賭、doubling up),玩家一直加倍下注,直到贏錢為止。

  例如你在輪盤玩一賠一的賭局,像是下注一元在輪盤上「紅色」的部分。如果你贏,很好,賺了一元。如果你輸,繼續下注兩元在紅色部分。如果這次贏了,就有兩倍(4元)進帳。注意,4元比你先前輸掉的2元加1元本金還多。

  如果你又輸了,繼續下注4元。這次贏了就有8元,還是賺了1元(扣除輸掉的7元)。輸掉的話,你就下注8元……然後16元……32元……64元……運氣再怎麼差,總有矇贏的時候。只要贏了,你就能賺1元,以此類推。……

  輸後加倍法不但無法避免賭徒破產,反而加速其到來。因為連連槓龜的賭徒必須下注的金額很快就變成128元……256元……512元……賭注實在太大了,玩家很難撐到霉運結束。(《天才數學家的秘密賭局Fortune's Formula: The Untold Story of the Scientific Betting System That Beat the Casinos and Wall Street》頁54)

  關於加倍下注,《為什麼公車一次來三班?:生活中隱藏的81個數學謎題Why Do Buses Come in Threes? The Hidden Mathematics of Everyday Life》有提到,現在賭場有最高下注金額的限制,所以,即使你資本超級雄厚,賭場也不會讓你如願。


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